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Moduldetails
Numerische Behandlung Partieller Differentialgleichungen (MSE)
Fakultät für Mathematik
TUMAFMA
5
1
3
MA9804
v1
2020W
Zuordnungen zu SPO-Versionen
Lehrveranstaltungen und Prüfungsveranstaltungen
Beschreibungen
Export
Allgemeine Daten (Modulhandbuch)
Bachelor
Einsemestrig
Sommersemester
Deutsch
Arbeitsaufwand (Work Load)
150
45
105
Studien- und Prüfungsleistungen
Aufgrund der CoViD19-Pandemie: Die Prüfungsform ändert sich gemäß §13a APSO auf das Prüfungsformat: schriftliche Fernprüfung mit Vidoeüberwachung.
In der Prüfung soll nachgewiesen werden, dass partielle Differentialgleichungen klassifiziert werden können, grundlegende Numerische Verfahren zur Lösung von solchen in Hinblick auf Stabilität und Konvergenz verstanden wurden, Diskretisierungstechniken angewandt werden können sowie Simulationsergebnisse interpretiert werden können. In der Klausur soll nachgewiesen werden, dass partielle Differentialgleichungen klassifiziert werden können, grundlegende Numerische Verfahren zur Lösung von solchen in Hinblick auf Stabilität und Konvergenz verstanden wurden, Diskretisierungstechniken angewandt werden können sowie Simulationsergebnisse interpretiert werden können.
J
N
Beschreibung
MA9801 Mathematische Grundlagen,
MA9802 Differential- und Integralrechnung,
MA9803 Modellierung und Simulation mit gewöhnlichen Differentialgleichungen
Nach erfolgreicher Teilnahme an der Veranstaltung werden die Grundkonzepte zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen sowohl im statischen als auch dynamischen Fall beherrscht. Insbesondere können typgerechte Aufgabenstellungen formuliert, klassifiziert, diskretisiert und unter Zuhilfenahme eines Computer (z.B. mit MATLAB) gelöst werden. Darunter fällt insbesondere die Fähigkeit das aus der Diskretisierung einer partiellen Differentialgleichung entstehende lineare Gleichungs- oder ODE-system unter Brücksichtigung geeigneter Randbedingungen aufzustellen sowie einen geeigneten Löser dafür auzuwählen und anzuwenden. Die Studierenden sind mit der Problematik direkter Löser bei hochdimensionale Gleichungssysteme vertraut und kennen geeignete iterative Verfahren zu deren Lösung. Zur Lösung dynamischer Probleme verbinden die Studierenden eigenständig Wissen zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen wie dem theta-Verfahren mit Methoden zur Diskretisierung stationärer partieller Differentialgleichungen. Begriffe wie Konvergenz- und Fehlerordnung sowie mögliche Stabilitätsbedingungen sind bekannt. Konkrete Anwendungsbeispiele z.B. aus der Fluid- oder Festkörpermechanik oder Thermodynamik (z.B. Stokes, Konvektion-Diffusion, lineare Elastizität, Wellen- oder Wärmeleitungsgleichung) können mit den vorgestellten numerischen Methoden assoziiert in einfachen Fällen gelöst werden.
Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sowie linear und nicht-linear, Wohlgestelltheit von Randwert- und Anfangswertproblemen, Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen, Finite Differenzen Verfahren für elliptische Probleme inklusive Konsistenzordnungs-Berechnung mittels Taylor-Entwicklung, Diskretisierung von Randbedingungen, Aufstellen und Lösen des aus der Diskretisierung resultierenden, linearen Gleichungssystems, Behandlung von Gebieten mit gekrümmten Rändern z.B. mittels Shortley-Weller Differenzenstern, Ausblick auf Finite Elemente Methode, klassische lineare Iterationsverfahren für grosse lineare Gleichungssysteme, darunter Gauss-Seidel, Jacobi und SOR, Bedingungen zu deren Anwendbarkeit sowie Aussagen über deren Konvergenz, Ausblick auf weiterführende Methoden wie Krylov-Raum Verfahren oder Multi-Grid-Methoden, Zeitintegrationsverfaren für parabolische Systeme, darunter explizites und implizites Euler- sowie Crank-Nicolson-Verfahren inklusive deren Stabilitätskriteria und Konvergenzaussagen, Charakteristikenmethoden für hyperbolische Gleichungen, CFL-Bedingung, Erhaltungsform hyperbolischer Gleichungen, numerische Verfahren mit Flussfunktion, z.B. Lax-Friedrichs oder Lax-Wendroff, Dissipation und Dispersion. Vorstellung anwendungsrelevanter Gleichungen wie z.B. Wärmeleitungs-, Wellen- oder Stokes-Gleichung oder aus der linearen Elastizitätslehre zur konkreten Veranschaulichung der vorgestellten numerischen Methoden.
Neben der Wissensvermittlung in der Vorlesung durch Einsatz von Präsentationsmaterial und Diskussion von Prototypen und Beispielen werden theoretische Grundlagen bereitgestellt. In den Übungsgruppen wird dies ergänzt durch Matlab orientierte Simulationsbeispiele. Eine Vertiefung des Wissens aus der Vorlesung wird durch Anwenden und Übertragen der Methodiken auf modifizierte Aufgabenstellung gefördert. Die Studierenden werden dabei zu aktiver Mitarbeit angeregt und in ihren Fähigkeiten Transferleistungen zu erbringen unterstützt.
Folien, Übungsblätter, Zusatzmaterial
Dahmen/Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Verlag 2006.
Quarteroni/Valli: Numerical Approximations for Partial Differential Equations, Springer Verlag 1997.
Modulverantwortliche*r
Barbara Wohlmuth (barbara.wohlmuth@ma.tum.de)